Dual-Balancing PINN论文阅读（上）
Physics-Informed Neural Networks核心是构建一个带参数 $\theta$ 的神经网络来学习PDE的近似解 $\hat{u}_\theta (\mathbf{x}, t)$ \begin{align*} \mathcal{N}_{\mathbf{x}, t}[u(\mathbf{x}, t)] &= f(\mathbf{x}, t), \quad \mathbf{x} \in \Omega, \, t \in [0, T] \\ \mathcal{B}_{\mathbf{x}, t}[u(\mathbf{x}, t)] &= g(\mathbf{x}, t), \quad \mathbf{x} \in \partial\Omega, \, t \in [0, T] \\ u(\mathbf{x}, 0) &= h(\mathbf{x}), \quad \mathbf{x} \in \Omega \end{align*}在时空域$(\Omega \times [0, T])$中采样点$\left{ \left( \mathbf{X}i^r,...
在Windows 11上 使用 WSL 安装并运行带有图形界面的 Ubuntu 24.04
感谢大佬的教程，此处做文字版整理和补充： 在Windows 11上 使用 WSL 安装并运行带有图形界面的 Ubuntu 24.04_哔哩哔哩_bilibili win+R输入control，打开控制面板找到程序 选择启用或关闭Windows功能 把虚拟相关的都打开，包括Virtual Machine Platform，Windows虚拟机监控程序平台，适用于Linux的Windows子系统，然后重启电脑生效。 win+R输入cmd，打开命令行窗口，输入: 1wsl --update 更新完成后输入 1wsl -v 检查版本内核信息 如果以前安装过linux系统，可以查看已安装的 WSL 发行版 1wsl --list --verbose 删除多余的 Ubuntu 发行版，如 1wsl --unregister Ubuntu-24.04 执行后，该 Ubuntu 发行版的所有数据（文件、配置、已安装的软件等）会被彻底删除，且无法恢复。 输入 1wsl --list --online 列出可安装的linux发行版 选择所需版本下载，这里我们输入 1wsl...
SDF-PINN 符号距离函数
SDF，符号距离函数(signed distance function)，是一种表示物体表面与空间中任意点之间距离的函数。 对于物体内部的点，SDF值为正； 对于物体外部的点，SDF值为负； 对于物体表面的点，SDF值为零。SDF能够精确描述物体的几何形状和边界，为处理复杂几何问题提供了便利。 比如对于圆形域$\Omega = { \mathbf{x} : x^2 + y^2 < 1 }$，$SDF$函数$\phi(x)$定义为点$x$到边界$\partial \Omega$的最短距离：$$\phi(x) = 1 - \sqrt{x^2 + y^2}$$ $\phi(\mathbf{x}) = 0$，当$\mathbf{x} \in \partial \Omega$； $\phi(\mathbf{x}) > 0$，当$\mathbf{x} \in \Omega$（内部）； $\phi(\mathbf{x}) < 0$，当$\mathbf{x} \notin...
FF-PINN 傅里叶特征嵌入
FF-PINN，意思是在输入中添加傅里叶特征(Fourier feature)嵌入，该方法通过使用正弦函数将PINN的输入坐标映射到更高维空间，从而增强了PINN模型的细节表示，从而提高了捕捉精细尺度细节的性能。 具体而言，做了如下变换：$$\gamma_{i}(X) = \begin{bmatrix}\cos(2\pi \beta_{i} X) \\sin(2\pi \beta_{i} X)\end{bmatrix}, \quad \text{for } i=1, 2, \ldots, S$$这里$\gamma$代表FF，$X$代表PINN的输入向量，参数$\beta$取自高斯分布$N(\mu, \sigma)$。 示意图如下，在输入层与第一层隐藏层之间添加了$FF$层： 具体代码实现： 12345678910import torchimport numpy as np# Fourier feature mapping using PyTorch operations 傅里叶特征映射函数def input_mapping(x, B): # B: 变换矩阵...
