参数化PINN：一条移动的色带，一族解
一条首尾相接、周长 1 米的传送带，带面上有深有浅。这个最小例子把输运方程里的波速 $c$ 也当成网络的输入：训练一次，就能查询任意波速下的解，而不必为每个 $c$ 单独训练一个网络。周期边界则用坐标映射硬约束住，省去额外的惩罚项。 物理方程取一维输运方程： $$ \frac{\partial u}{\partial t}+c \frac{\partial u}{\partial x}=0. $$ 初始条件 $u(x,0)=u_0(x)=[1+\sin(2\pi x)]/2$，周期边界 $u(0,t)=u(1,t)$。 取 $0\le x\le 1.0$，$0\le t\le 0.5$，$0.2\le c\le 1.0$。这一族问题的参考解可以手算：$u_c(x,t)=u_0(x-ct)$，颜色只是随传送带整体平移，形状不变。 本例的重点在于把 $c$ 送进网络：$x,t,c$ 三个量都是输入，网络学的是整个解族 $u(x,t;c)$，而不仅仅是某一部“影片”。 网络构建把一维空间坐标 $x\in[0,1]$ 映射到二维单位圆上：$x \mapsto...
Jacobian Matrix
Jacobian Matrix考虑$f(x)=x^2$，求导得$\frac{df}{dx}=2x$ 当进入多元函数(Multi-Variable Functions)，比如$f(x_1, x_2)=x_1^2+3x_1 x_2 +x_2^2$，则：$$ \frac{\partial f}{\partial x_1} = 2x_1 + 3x_2 \quad \frac{\partial f}{\partial x_2} = 3x_1 + 2x_2 $$当我们不仅有一个包含多个变量的函数，而且有多个函数，且均为多元函数：$$ \mathbf{f}(\mathbf{x}) = \begin{pmatrix} f_1(x_1, x_2) \\ f_2(x_1, x_2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x_1^2 + x_2 \\ x_1 + x_2^2 \end{pmatrix} $$上式代表二维输入空间到二维输出空间的映射 现在我们定义雅可比矩阵(Jacobian Matrix)：$$ J_f = \begin{pmatrix}...
FB-PINN论文阅读02-基本原理
Note在FB-PINN中，问题域$\Omega \subset \mathbb{R}^d$被细分为$n$个重叠的子域$\Omega_i \subset \Omega$，子域的细分可以为任意类型，规则或不规则，且可以有任何重叠宽度（但子域之前有重叠是必须的）。简单起见，我们展示一种规则细分（超矩形划分）： 我们有近似解：$$\hat{u}(x;\theta) = \mathcal{C}\left[ \overline{NN}(x;\theta) \right]$$这里$x \in \Omega \subset \mathbb{R}^d$，物理坐标；$\overline{NN}(x;\theta)$是把所有子域网络加一起的函数；$\mathcal{C}$是约束算子，用于硬边界 其中：$$ \overline{NN}(x;\theta) = \sum_{i}^{n} w_i(x) \cdot \text{unnorm} \circ NN_i \circ...
FB-PINN论文阅读01-归一化与硬约束
Note对于PINN，通常损失有基本的两项构成，物理损失和边界损失： $$\mathcal{L}(\theta) = \mathcal{L}_p(\theta) + \mathcal{L}_b(\theta),$$ 二者有以下形式： $$\mathcal{L}_p(\theta) = \frac{1}{N_p} \sum_{i}^{N_p} \| \mathcal{D}[NN(x_i; \theta); \lambda] - f(x_i) \|^2,$$ $$\mathcal{L}_b(\theta) = \sum_{k} \frac{1}{N_{bk}} \sum_{j}^{N_{bk}} \| \mathcal{B}_k[NN(x_{kj}; \theta)] - g_k(x_{kj}) \|^2,$$ 上面这种称为软约束，在实际训练中二者通常有冲突，并且调整二者的权重系数也是个繁琐的工作。对此，可以将边界条件直接融入近似解，作为其中必然满足的一部分，如对于波动方程： $$\left[ \nabla^2 - \frac{1}{c^2}...
